. Prof. Pedro Ballester

Sistema de Lógica Elemental

LAS TRES DIMENSIONES DEL LENGUAJE

La semiótica estudia los lenguajes como sistemas de signos. Estos sistemas están constituidos por un conjunto de elementos relacionados entre sí. Los elementos son los términos del lenguaje y las relaciones son las conexiones diversas de los signos consigo mismos, con sus significados y con los usuarios que se sirven de ellos para comunicarse. El filósofo Charles Morris, teniendo en cuenta lo expuesto, definió a la semiótica como una ciencia general de los signos y la dividió en tres ramas: la sintaxis, la semántica y la pragmática. La primera estudia la relación entre los signos, la segunda la relación entre los signos y los objetos a os que se aplican y la tercera la relación entre signos y usuarios. Cada una de estas disciplinas tiene un campo específico de estudio.

La sintaxis se ocupa de los signos sin tener en cuenta sus significados pero sí las relaciones entre ellos. La lógica formal es una sintaxis que responde a reglas precisas. Estas son de dos tipos: las de formación y las de transformación o sustitución. Las primeras nos dicen de qué modo se deben relacionar los signos de un determinado lenguaje lógico y las segundas nos indican la manera de sustituir unos signos por otros en lugares previamente determinados de una estructura sintáctica cualquiera. Un ejemplo del primer tipo de regla puede ser la forma en que ordenamos los sumandos de una suma. Estos deben colocarse horizontalmente uno después del otro intercalando entre los mismos el signo convencional que indica la operación en cuestión: a + b + c = d. Un ejemplo del segundo tipo de reglas es el que nos indica de qué modo podemos sustituir una letra (variable) por otra respetando la misma estructura. Si a = z+ y; b= z; c= y, se sustituirá "a" por su equivalente allí donde aparezca y lo mismo sucederá con "b" y "c". De este modo a + b + c=d se expresará una vez efectuadas las sustituciones correspondientes: (z+ y)+z+ y= d.

La semántica tiene en cuenta los significados de los signos. A la lógica le interesan dichos significados considerados en su extensión, es decir, teniendo en cuenta el tipo y la cantidad de individuos a los que puede aplicarse un signo cualquiera. Las reglas de la semántica que indican cómo se debe aplicar un signo a su referente o contenido significativo se denominan reglas de asignación. Si el contenido de un signo es un valor numérico la regla indica a que signo se le dará dicho valor. En el ejemplo de la suma si a=4; b=l y c=7, entonces a + b + c= d se indicará una vez sustituidas las variables por su valores respectivos: 4+1+7= 12, siendo el resultado numérico el valor correspondiente a “d”.

Los contenidos o significado de los signos son múltiples y variados. Al sólo efecto de clasificar de un modo escueto los signos según el contenido o significado que les asignemos, vamos a considerar sólamente dos tipos de signos: denominados "términos de propiedad" y "términos de individuo". Los primeros son los que se aplican a conjuntos de objetos ordenados según alguna propiedad en común. Por ejemplo, los objetos cuya propiedad es tener cuatro patas se pueden agrupar en el conjunto de los cuadrúpedos. 0 sea que cuando se aplica "cuadrúpedo" lo que hacemos es aplicarlo al conjunto de objetos que nombra. Lo mismo pasa con otras palabras. Asi la palabra "mesa" es el nombre del conjunto de objetos cuya propiedad es "ser mesa". Los términos de propiedad pueden hacer referencia a cualquier propiedad, de modo que las palabras que nombran propiedades nombran conjuntos de objetos caracterizados por dicha propiedad. Las relaciones son propiedades. Los parentescos son ejemplos de ellas. "Ser padre de" expresa una relación entre por lo menos dos sujetos.

Los términos de individuo son aquellos que se aplican a individuos. El mejor ejemplo son los nombres propios. Estos se aplican a individuos cuando se trata de nombres de personas u objetos únicos generalmente personalizados. "Héctor" es el nombre de una persona. Por supuesto que muchas personas llevan ese nombre, pero cuando usamos el nombre no lo hacemos para nombrar a todos los Héctor sino a uno perfectamente individualizado. El ejemplo dado no es exhaustivo, puesto que los nombres propios como una tipología de términos aplicables a individuos exigiria una definición de "individuo" que en el contexto de este trabajo no daremos. También pueden considerarse términos de individuo los sobrenombres, las descripciones de los nombres propios, algunos pronombres personales, etc.

La pragmática estudia la relación entre los signos y sus usuarios. Las reglas la pragmática son reglas de uso. La expresión "buenos dias", por ejemplo, no se usa en cualquier momento del dia. Hay una regla, tácita, que nos indica usarla a la manana y no a la tarde o a la noche. Lo mismo sucede con otro tipo de expresiones usadas en el lenguaje. La retórica, concebida como una lógica de la persuasión, en la que se tiene en cuenta a los interlocutores es, según Morris, una pragmática. En el contexto de este trabajo ni la retórica ni la pragmática son de interés, en consecuencia no haremos ningún desarrollo al respecto.

EL LENGUAJE LÓGICO

Las lenguas históricas tienen una sintaxis empírica que sirve para que quienes las hablan puedan construir oraciones y conectarlas entre sí y formar discursos más complejos. Estas sintaxis, propias de lenguas como el castellano, el francés y otras semejantes, son muy ricas en posibilidades literarias. Las ciencias en general han usado las sintaxis de los lenguajes históricos habida cuenta de que las distintas ciencias cultivadas por el hombre han necesitado de esos lenguajes para transmitir los conocimientos. Pero el uso de esos lenguajes tuvo que hacerse con sumo cuidado porque el conocimiento científico, entre otras condiciones, requiere de la precisión y la exactitud a la hora de ser expresado por un sistema de signos determinado. Es evidente que no basta con respetar la estructura clásica de las oraciones con sujeto y predicado para trasmitir una información cualquiera. La oración: "los ventiladores están jugando a los dados" está bien construida pero la información que nos brinda es nula. Es necesario tener en cuenta los contenidos de las oraciones para que éstas sirvan para comunicar un conocimiento. Además, el contenido de las oraciones, o de otras expresiones del lenguaje, depende del contenido de las palabras que se usen para construirlas. La "oración" que dimos como ejemplo no comunica nada precisamente porque la palabra "ventilador" y la expresión “jugando a los dados" tienen una denotación diferente a las que normalmente debieran tener si con ellas se pretendiera comunicar algo usando la sintaxis a la que hemos recurrido. Hay palabras que significan diferentes cosas, como “llave" por ejemplo. Uno de sus significados hace alusión a una herramienta que se usa para desajustar tuercas, otra a un utensilio que sirve para destrabar puertas, etc. Se les llama "homónimos" a los términos con dichas características. Hay palabras distintas que significan lo mismo. Por ejemplo "comprender" y "entender". Se las
denomina "sinónimos". Este tipo de términos que tanto en el lenguaje cotidiano como en el literario permiten enriquecer un idioma, generalmente en el lenguaje científico causan problemas no menores. La precisión de lenguaje científico no permite ni la vaguedad ni la ambigüedad. Los términos deben tener una significación unívoca.

Los dos tipos de problemas que hemos señalado sucintamente han preocupado a los lógicos y matemáticos a lo largo de varios siglos. Raimundo Lulio y Leibniz propusieron lenguajes más precisos que las lenguas históricas. A partir de ellos tanto los lógicos como los matemáticos se preocuparon regularmente por resolver el problema que presentaban las imprecisiones del lenguaje científico, principalmente en lógica y matemática. Las imprecisiones son generalmente de dos tipos: sintácticas y semánticas. Las paradojas reúnen estos dos tipos de problemas. Una de las más conocidas es la de Epiménides el cretense. Epiménides, natural de la isla de Creta, sostenía que todos los cretenses eran mentirosos. Está claro que si Epiménides dice la verdad, es un mentiroso puesto que es cretense, por ende, tiene que mentir para que su aseveración sea verdadera. Esta paradoja es una entre muchas. En el lenguaje literario no sólo no son un problema sino, al revés, son una ventaja. Las paradojas enriquecen el lenguaje literario. Pero al lenguaje científico no le brindan ningun beneficio.

El teorema de Cantor es una paradoja de la teoría de conjuntos y se relaciona con los números cardinales. El cardinal de un conjunto está dado por la cantidad de elementos que lo integran. Asi el cardinal del conjunto de los meses del año es 12, el de los días de la semana 7, etc. El teorema sostiene que el conjunto potencia - CpS- de un conjunto cualquiera S, es mayor que el número cardinal de S. El conjunto potencia, CpS, de un conjunto cualquiera S, es el conjunto de todos los subconjuntos de S incluido él mismo como subconjunto impropio, más el conjunto vacío que no tiene elementos. Vamos mostrar la contradicción que se genera a partir del teorema.

Llamemos T al conjunto de todos los conjuntos. Según el teorema de Cantor el conjunto potencia de T, CpT, tiene un número cardinal mayor que T, por lo tanto:

1)   CpT>T

Considerando que T es el conjunto de todos los conjuntos, se infiere que CpT es un subconjunto de T y por lo tanto, que todos los elementos de CpT son elementos de T. Por ende:

2)   CpT < T (lo correcto es señalar que CpT es menor o igual a T, dado que CpT podría ser un subconjunto impropio de T).

De este modo (1) y (2) componen la paradoja de Cantor sobre los números cardinales. Por definición el conjunto potencia de cualquier conjunto, en este caso el conjunto de todos los conjuntos T, es mayor que ese conjunto ( o sea que tiene más elementos y por lo tanto un cardinal mayor); pero al mismo tiempo T es el conjunto de todos los conjuntos, en consecuencia CpT debe ser un subconjunto de T (propio o impropio) y, por ende, tiene que ser menor o a lo sumo igual que T, de no ser así o T no es el conjunto de todos los conjuntos incluido CpT o-T es menor que CpT y se da la paradoja de que el conjunto de todos los conjuntos es menor a uno de sus subconjuntos, o igual si ese subconjunto es un subconjunto impropio de T ( Se dice que un subconjunto es propio , si es un subconjunto de un conjunto finito, cuando tiene menos elementos que el conjunto del que forma parte, y se dice que es impropio cuando la cantidad de elementos del subconjunto es igual a la del conjunto que lo contiene. Si se trata de subconjuntos de conjuntos infinitos, el subconjunto puede tener la misma cantidad de elementos que el conjunto que lo incluye, pero los elementos son distintos. Todo conjunto es subconjunto de si mismo.

LENGUAJE FORMAL

La necesidad de superar las paradojas del lenguaje lógico - matemático llevo a los estudiosos a perfeccionar dicho lenguaje. Al principio se trató de darle a los términos una significación unívoca, evitando de ese modo las ambigüedades y generalidades. A los efectos de superarlas se trató de unificar la simbología de modo tal que no se produjesen confusiones por el uso de símbolos distintos con referentes semejantes o el mismo símbolo con referentes distintos. Pero como esto no fue suficiente se construyó una sintaxis muy precisa haciendo explícitas todas las reglas de formación y transformación que se debian usar. La combinación entre los llamados términos primitivos del lenguaje y las reglas sintácticas dio origen a lenguajes formalizados muy parecidos o asociados a los cálculos aritméticos.

Los cálculos no son exactamente lenguajes porque en principio no tienen contenido alguno. Son sintaxis puras cuyas reglas de formación y transformación facilitan las operaciones sin tener en cuenta los contenidos. Los lenguajes formalizados son lenguajes porque además de la sintaxis tienen un contenido semántico. De todos modos le deben al cálculo la sintaxis. Esta sintaxis, más la semántica, dieron por resultado los lenguajes formalizados que, a su vez, permitieron presentar a la lógica como un sistema formal(l).

La adición es una estructura de este tipo y es un sistema. Este sistema debe cumplir con ciertos requisitos: tiene que haber un conjunto básico de n elementos y un conjunto de reglas que regulen las relaciones entre esos elementos, de modo que un grupo conmutativo debe constar de:

A1)(a*b) = (b*a)
A2) a * (b * c) = (a * b) * c
A3) a * 0 = a A4) a * -a = 0

Usamos el signo * para indicar cualquier operación con elementos de K definido axiomáticamente. La estructura de grupo es una metaestructura que puede ser interpretada de distintas formas. Si la operación indicada en el cálculo es la suma de números naturales los elementos de K serán números naturales. En tal caso la definición axiomática es:

A1)(a + b) = (b + a)
A2) a + (b + c) = (a + b) + c
A3)a + 0 = a A4) a + -a= 0

Si se trata de la suma de vectores la estructura de grupo permanece inalterable y el conjunto K tendrá por elementos valores de vectores. Esto quiere decir que cuando se suma, independientemente de lo que se sume, siempre se lo hace respetando las reglas que definen la estructura. En este caso dichas reglas son Al (propiedad conmutativa), A2 (propiedad asociativa), A3 (elemento neutro), A4 (elemento opuesto). El ejemplo dado es una estructura de cálculo. No es un lenguaje. Un lenguaje exige asociar el cálculo a una interpretación semántica. La lógica formal es un lenguaje asociado a un cálculo. El cálculo formal es un algoritmo en el que se opera sin tener en cuenta los contenidos. No obstante se opera con ciertos símbolos y en virtud de ciertas reglas, como lo hemos mostrado en el ejemplo. Además el cálculo formal tiene ciertas propiedades. Las condiciones que debe cumplir un cálculo formal (o sistema formal) son:

Las propiedades de un cálculo formal son:

LENGUAJE Y METALENGUAJE

Se puede mencionar a los elementos de un lenguaje recurriendo a expresiones de ese mismo lenguaje. Esto se debe a que los lenguajes tienen la propiedad de ser reflexivos. Esto permite decir, por ejemplo, que 'la palabra "esdrújula" es esdrújula'. También se puede hablar de una expresión más compleja señalando, por ejemplo, que: "Algunos números son primos" es una oración con sujeto y predicado. En los dos casos se ha usado el lenguaje para hablar sobre el lenguaje. Este procedimiento es posible porque al hablar o escribir es posible considerar al lenguaje del que se habla o escribe como un objeto. En tal caso el lenguaje acerca del que se habla o escribe es un lenguaje objeto. Sus expresiones (palabras, frases, etc.) son mencionadas. Cuando se indica que la palabra "esquema" es de tres sílabas, se la menciona pero no se la usa. El lenguaje desde el que se habla se denomina "metalenguaje". Las palabras y expresiones mencionadas, por convención, se escriben entre comillas. En el lenguaje las expresiones se usan y no van entrecomilladas. He aquí un ejemplo:

La aritmética y la lógica son lenguajes

En la frase anterior "aritmética" y "lógica" son el sujeto y "son lenguajes" es el predicado. Todas las expresiones entrecomilladas corresponden al lenguaje objeto y están mencionadas. En la frase original que se tomó como ejemplo son usadas.

Como la distinción entre lenguaje, metalenguaje y lenguaje objeto es funcional y responde a un escalonamiento por niveles se puede pasar de un nivel a otro. Si decimos "la palabra" puerta" tiene dos sílabas" nos encontramos con tres niveles escalonados: en el inferior, como lenguaje objeto, esta "puerta" a la que se menciona desde la expresión metalingüística "la palabra "puerta" tiene dos silabas". En el siguiente nivel esta la expresión "la palabra "puerta" tiene dos silabas" como lenguaje objeto, a la que se menciona en la expresión metalingüística: "Si decimos "la palabra "puerta" tiene dos sílabas" nos encontramos con tres niveles escalonados: etc.". El escalonamiento se remonta al infinito. Este hecho, propio de los lenguajes reflexivos, generó problemas a veces insolubles: las paradojas. Uno de los procedimientos par evitarlas es la distinción entre lenguaje y metalenguaje y la convención de usar comillas para los términos y expresiones cuando se las menciona. La formalización de cualquier lenguaje se hace desde un metalenguaje, puesto que formalizar un lenguaje L consiste en hacer explfcita su estructura desde el metalenguaje L1.

ENUNCIADOS YRAZONAMIENTOS

A modo de resumen introductorio de la lógica clásica conviene recordar que los enunciados son expresiones del lenguaje cuya característica fundamental es ser verdaderos o falsos. Se los distingue de otras expresiones lingüísticas como las preguntas, las órdenes, las súplicas o las exclamaciones en tanto que ninguna de estas expresiones se caracteriza por la verdad o falsedad. Un enunciado es verdadero cuando informa adecuadamente y falso cuando no lo hace. Este criterio de verdad parte del supuesto de que entre el lenguaje y lo que éste describe puede haber una cierta correspondencia. Cuando dicha correspondencia es la adecuada estamos ante la verdad. Cuando la correspondencia no existe o no es estrictamente adecuada, decimos que el enunciado es falso. Hay enunciados cuya verdad o falsedad no depende de los contenidos sino de su forma. Serán considerados a su debido tiempo. Esta idea de la verdad proviene de los griegos, principalmente de Aristóteles, quien afirma que decir de lo que es que es y de lo que no es que no es, es verdadero, y decir de lo que es que no es y de lo que no es que es, es falso.

Los enunciados pueden describir hechos o relaciones. En el primer caso se los denomina "sintéticos" en el segundo "analíticos". Se dice que los enunciados sintéticos se caracterizan porque el predicado añade información al sujeto. En el enunciado "la puerta es roja" la propiedad "rojo" añade información al concepto sujeto "puerta" dado que no toda puerta es roja ni el ser rojo hace a la puerta. En el enunciado "los cuadrados son figuras geométricas de cuatro ángulos y cuatro lados iguales" el predicado lo único que hace es hacer explícitas las propiedades del sujeto por medio del análisis. No añade información.

Muchos enunciados suelen tener la forma de las oraciones con sujeto y predicado. Se los representa S es P. Un ejemplo es: Todo hombre es racional. El verbo "ser" es el nexo que une al sujeto con el predicado. Estos enunciados en los que el predicado se afirma o niega categóricamente del sujeto se denominan "categóricos". Se los clasifica teniendo en cuenta su cantidad y su cualidad. Por la cantidad puede ser universales o particulares y por la cualidad afirmativos o negativos. Combinando estas característica obtenemos los siguientes enunciados categóricos típicos:

A) Universales afirmativos: Todo S es P
E) Universales negativos:    Ningún S es P
I) Particulares afirmativos: Algún S es P
0) Particulares negativos:     Algún S no es P

Estos enunciados son los componentes de distintos tipos de razonamientos. Los razonamientos deductivos, en los que la conclusión se desprende necesariamente de las premisas, suelen ser de este tipo:

Todo político es estadista
Todo ciudadano es político
Luego: Todo ciudadano es estadista

Los razonamientos no son ni verdaderos ni falsos sino válidos o no válidos. Si están bien construidos son válidos en caso contrario no.

Los razonamientos inductivos son aquellos en los que la conclusión se deriva de modo probable de las premisas. Un ejemplo puede ser el siguiente:

Todas las sillas del aula A son negras
Todas las sillas del aula B son negras
Luego: es probable que las sillas del aula C también sean negras

Y también:

Si hace calor, el agua se evapora
Hace calor
Por lo tanto el agua se evapora

LOGICA DE LAS PROPOSICIONES

La lógica de las proposiciones considera a los enunciados como unidades indivisibles, es decir que no se ocupa de analizar la estructura interna de los mismos. Esta es la razón por la que su simbolismo no se corresponde con el de una lógica que parte de enunciados cuya estructura es la de las oraciones con sujeto y predicado. Este nivel de análisis recurre a esquemas como "S es P" para representar los enunciados. Es importante hacer explícito el sujeto y el predicado de los enunciados, además de hacer explícitas su cantidad y su cualidad. Para este nivel de análisis no es lo mismo decir: "todos los gatos son negros" que aseverar "algunos gatos son negros". Entre otras razones porque el primero de los enunciados es universal y el segundo particular, además de ser verdadero este último y falso el primero.

VARIABLES PROPOSICIONALES

Si consideramos a los enunciados como unidades indivisibles, sin importarnos ni el sujeto ni el predicado o si son universales o particulares, podemos representarlos sin ningún problema usando sólo una letra por cada uno. Podemos, por ejemplo, simbolizar el enunciado: " todos los perros son animales" con la letra "p", y al enunciado: " algunos gatos son negros" con "q". Y del mismo modo podemos hacer con cualquier enunciado diferente de los anteriores. Si son uno, dos, tres o más, le podemos asignar a cada uno de ellos, siguiendo el orden alfabético de las consonantes del castellano a partir de "p", las letras que corresponden en dicha sucesión. Si uno de los enunciados se repite, se lo representara siempre por la misma letra tantas veces como sea necesario. Considerado una sucesión de enunciados como ésta: algunos gatos son negros, algunos conejos son blancos y algunos tigres son manchados, representaremos a "algunos gatos son negros" con "p", y a los dos siguientes enunciados con "q" y "r" respectivamente.

Las letras que usamos para representar a los enunciados se Ilaman "variables enunciativas" o "variables proposicionales", habida cuenta de que "proposición" es sinónimo de "enunciado". A los efectos de simplificar nuestro lenguaje cuando hablemos de enunciados o proposiciones estaremos diciendo lo mismo. Además, podemos referirnos a las variables proposicionales como si fueran las proposiciones mismas. Esto quiere decir que podemos referirnos a "p" como la proposición o el enunciado p.

Las proposiciones o enunciados se pueden considerar separadas de cualquier discurso. Por ejemplo, si decimos "la puerta es amarilla" sin relacionar esta proposición con otra la estamos considerando aisladamente. Podemos representarla con "p". A estas proposiciones se las suele llamar "proposiciones atómicas". También se las llama "proposiciones simples". Por supuesto que las proposiciones en un discurso o texto no están, generalmente, aisladas las unas de las otras. Están conectadas de algún modo. Estas proposiciones se denominan "moleculares" o complejas. Un ejemplo de estas últimas puede ser "la puerta es amarilla y la ventana es marrón". Ambas estan conectadas por una conjunción, en este caso la "y".

Tantos las proposiciones simples como las complejas son o bien verdaderas o bien falsas. Esto permite establecer una relación entre las proposiciones y la verdad o la falsedad que las caracteriza. Se denominan "valores de verdad" a la verdad y a la falsedad de las proposiciones. Estos valores se pueden asignar a las proposiciones de acuerdo a ciertos criterios. Como toda proposición, hasta tanto no se la verifique, puede ser o verdadera o falsa, asignamos los dos valores. Supongamos que la proposición en cuestión es p. Le asignaremos los valores "verdad" y "falsedad" del siguiente modo:

Si la proposición es compleja tendremos en cuenta de que manera estan conectadas las proposiciones simples que la componen.

CONECTIVAS LÓGICAS

Los términos que conectan a unas proposiciones con otras se denominan "conectivas". Estas conectivas son la conjunción, la disyunción inclusiva, la disyunción exclusiva, el condicional, el bicondicional, la negación conjunta y la negación alternativa. Estas conectivas se denominan "operadores diádicos" puesto que afectan a dos proposiciones a la vez. Si digo que "Héctor estudia y Carlos trabaja" la conectiva es la "y"s que incide tanto sobre una como sobre la otra. Estas conectivas se representan por medio de símbolos convencionales. En nuestro caso las representaremos a cada una de ellas del siguiente modo: la conjunción (y) se representa p . q, y debe leerse "p y q". La disyunción inclusiva (o) la representaremos pvq que debe leerse "p o q". El condicional se representa por p=>q, y puede leerse "p entonces q". El bicondicional p <=> q, que se puede leer "p si y sólo si q". Y la disyunción exclusiva pwq, que puede leerse "o bien p o bien q". Las dos conectivas restantes se derivan de las anteriores y se explicará su funcionamiento mas adelante.

Además de las conectivas debe considerarse un operador monádico: la negación, que representaremos con el signo -. La negación afecta directamente a la proposición a la que antecede. Esto significa que si niego a p, el signo de la negación se antepondrá a p del siguiente modo: -p, que podrá leerse "no p". También la negación puede afectar a las proposiciones complejas consideradas en conjunto. Por ejemplo, se puede negar a p v q en conjunto anteponiendo la negación a un paréntesis que encierra a p v q del siguiente modo -(p v q). La negación afecta los valores de verdad en toda proposición, ya sea simple o compleja. Puntualmente invierte los valores de verdad. Por lo tanto si para:

La negación no es distributiva con respecto a ninguna conectiva. Por lo tanto -p v -q no equivale a: -(p v q), ni -(p=>q) equivale a: -p -> -q,etc.

FUNCIONES

Una función aritmética tiene dos ámbitos: el de variabilidad y el de valores. La función es la operación de correlatar dichos ámbitos. La expresión: f (a , b) = c, representa una función diádica que consta de dos variables independientes ( a, b) y una dependiente c. La función en cuestión puede representar distintas operaciones aritméticas. Si se trata de la función suma tenemos en el siguiente ejemplo: a + b = c, un ámbito de variabilidad constituido por "a + b" y un ámbito de valores constituido por "c". Las letra a, b, c son variables que representan valores y el signo "+" la operación específica. Las denominadas "variables independientes" son aquellas a las que se le asignan valores que a su vez, efectuada la operación, determinan el valor de la llamada "variable dependiente". Las variables independientes estan en el ámbito de variabilidad y la dependiente en el de valores. Las variables ocupan lugares en la función. En la suma a y b ocupan los lugares que están a uno y otro lado del signo más:......... +.... , y se denomina lugares de argumento a dichos "espacios". Esto significa que habrá funciones de uno, dos, tres o más lugares de argumento. La función f (a, b) = c tiene dos lugares de argumento ocupados por las variables a y b que representan valores. Se llama diádica a una función con dos lugares de argumento, monádica a la de uno sólo, triádica a la de tres y asi sucesivamente. Las fimciones en general son n ádicas.

FUNCIONES DE VERDAD

Los enunciados o proposiciones son funciones de verdad. Esto quiere decir que se les asignan valores de verdad y, en el caso de las proposiciones complejas, se opera con esos valores de tal modo que al relacionar entre sí los valores de cada proposición simple (que forma parte de una proposición compleja) obtenemos nuevos valores que son los que corresponden a la proposición compleja en correspondencia con la conectiva que actúa como operador funcional. La verdad y la falsedad se asignan a las variables proposicionales de acuerdo a criterios preestablecidos y se denominan "tablas de verdad". No sólo las proposiciones simples tienen tablas de verdad. Las proposiciones complejas o moleculares tienen sus tablas correspondsentes que dependen de la conectiva o las conectivas que hay en ellas haciendo de nexo entre las proposiciones simples. Vamos a mostrar las tablas de verdad de proposiciones moleculares con dos variables y conectadas por las conectivas que usaremos.

Consideremos, a modo de ejemplo, el caso de la conjunción. Asi como la proposición p es verdadera o falsa, tambien p . q considerada en conjunto es verdadera o falsa. Las otras conectivas generan también proposiciones complejas que son verdaderas en unos casos y falsas en otros. En tanto que funciones de verdad diádicas las conectivas lógicas y sus respectivos lugares de argumento se representan genéricamente f( p, q). El ámbito de variabilidad esta integrado por los valores asignados a cada variable y el de valores por los valores de la conectiva obtenidos luego de correlatar entre sí los valores de las variables. Una función diádica genérica se expresa:

El ámbito de variabilidad está consignado con una distribución de valores veritativos para p y q determinado por las posibilidades de combinación de dichos valores según el número de variables usadas. Dada una variable los valores a asignar son dos: v, f.   Si son dos las posibilidades de combinación son cuatro:

Para p: v v f f
Para q: v f v f

Si fueran tres serían ocho y asi sucesivamente de acuerdo a la siguiente fórmula: 2*= n, en la que "2" representa los dos valores asignables (v , f), el signo * el número de variables y "n" la cantidad de valores a asignar a cada una de las mismas. Si en 2*= n, * vale 1, la función será monádica y por lo tanto 2 elevado a 1 da 2, con lo que serán dos lo valores asignados. Si la función es diádica 2* será 2 elevado al cuadrado y los valores asignados serán cuatro. En el caso de una función triádica * vale 3, y 2 se eleva a la tercera, con lo que 2x2x2 = 8. Una función triádica:

tiene 8 valores por cada variable.
Veamos ahora cada una de las funciones de verdad diádicas, que no son otras que las conectivas lógicas.

LA CONJUNCIÓN es verdadera cuando las proposiciones que la componen son ambas verdaderas, y falsas en los demás casos. Su tabla de verdad es la siguiente:

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA es verdadera en todos los casos, salvo cuando las proposiciones simples que la componen son ambas falsas. Esto es:

EL CONDICIONAL es  verdadero en todos los casos salvo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. Esto es:

p=> q

La fórmula q => p es la conversa de p => q, mientras que la fórmula -p => -q es el inverso y la fórmula -q => -p es la contrapositiva de p=>q.

LA IMPLICACIÓN es la validez del condicional, es decir, un condicional verdadero en todos los casos. Un ejemplo simple sería:

que puede leerse p implica q.

Si se emplean variables metalógicas, o sea que sustituyan a cualesquiera fórmula del lenguaje lógico, se puede decir que P implica lógicamente a Q siempre que P => Q sea una tautología. Sean P y Q variables metalógicas y que para el caso P represente "(-p v q). p" y Q represente "p", entonces la fórmula:

es una implicación. Ahora bien, las variables metalógicas P y Q representan enunciados no hechos. Por lo tanto la implicación es una relación formal entre nombre de enunciados y no entre hechos. El condicional, en cambio, describe relaciones entre hechos y por ese motivo no siempre ni en todos los casos debe ser verdadero.

EL BICONDICIONAL es verdadero cuando los valores de verdad de cada proposición son equivalentes. Este es un caso: 

Podemos definir a la doble implicación como la validez del bicondicional o sea cuando este es verdadero en todos los casos. Asi p <=> p esuna doble implicación o también una equivalencia.

LA DISYUNCION EXCLUSIVA es verdadera cuando los valores de las proposiciones conectadas son diferentes. Por ejemplo:

LA NEGACIÓN CONJUNTA es una derivación de  -p . -q y se puede representar del siguiente modo: p ^ q, que se lee "ni p ni q" y que es falsa en todos los casos salvo cuando las proposiciones conectadas son falsas:

esta conectiva permite expresar cualquier fórmula bien formada del sistema sin usar la negación ya que -p <=>   p^p.

LA NEGACIÓN ALTERNATIVA es una derivación de -p v -q y se la representa: p/q, que es verdadera en todos los casos salvo cuando, en el caso del ejemplo, p y q son verdaderas:
                                           

Utilizando una, dos o más conectivas y una, dos o más variables proposicionales podemos construir proposiciones moleculares de diferente grado de complejidad. Por ejemplo, una en la que se usen p, q, r y las conectivas => (condicional), v (disyunción inclusiva) como la siguiente: (p => q) v r que puede leerse "si p entonces q o r". En este caso se nan usado parentesis para agrupar las variables de acuerdo a un criterio arbitrario, lo que significa que se podrían haber agrupado de otro modo. Por ejemplo: p => ( q v r). Los paréntesis, los corchetes y las llaves son signos de puntuación, o sea que la única función que cumplen es la de separar y agrupar proposiciones tanto simples como complejas. El uso de dichos signos no sólo modifica la lectura que hacemos de las proposiciones sino también sus tablas de verdad. En los ejemplos anteriores no sólo las lecturas de las fórmulas son diferentes sino también la distribución final de sus valores veritativos.

MÉTODO DE LAS TABLAS DE VERDAD

Las tablas de verdad son un método de decisión que permite determinar si una fórmula es verdadera o falsa. Al aplicarlo a las funciones de verdad se mostró en qué casos una determinada conectiva era verdadera o falsa. Se pueden hacer fórmulas usando varias conectivas y usar las tablas de verdad para saber en qué casos dichas fórmulas son verdaderas y en qué casos no lo son.
Por ejemplo:

es verdadera sólo en la segunda linea, o sea , cuando tanto p =>-q como p son verdaderas, dado que el conector principal es la conjunción. Lo mismo se puede hacer con cualquier fórmula bien formada independientemente de su grado de complejidad, ya sea por la cantidad de variables usadas en ella o por la reiteración de una o más variables unidas por diferentes conectivas. El siguiente es un ejemplo de ello:

MÉTODO DE DECISIÓN POR ASIGNACIÓN DE VALORES

Existen varios métodos para decidir si una fórmula cualquiera pertenece o no un sistema lógico, y, dado que sólo las tautologías pertenecen al mismo, bastaría con disponer de un procedimiento para averiguar si una fórmula cualesquiera lo es o no lo es. Uno de ellos es el de las tablas de verdad y otro, derivado del anterior, es el método por asignación de valores. Este método es más rápido pero no más efectivo que las tablas y se aplica a partir de ciertas reglas que indican el funcionamiento de las distintas conectivas. Considerando que los valores veritativos son "v" y "f" se los puede asignar en una fórmula cualquiera a todas sus variables, como en el caso de las tablas de verdad, o a una de las variables de la fórmula elegida arbitrariamente. El procedimiento consiste en sustituir a la variable por el valor a asignar allí donde aparezca. El valor elegido puede ser “f” o "v" y conviene asignarlo, en una fórmula compleja, a la variable que más se repita. Sea la fórmula: p => (-q . p), en cuyo caso sustituimos la variable más repetida por "f', con lo que obtenemos f -> ( -q . f). Una vez asignado el valor se procede a operar según cual sea la conectiva - o conectivas- que oficia de nexo. En el ejemplo lo que se comprueba es que la fórmula en cuestión, cuando a la variable más repetida se le asigna "f", el resultado es "v". Esto se debe a que en un condicional cuando el antecedente es falso el condicional es siempre verdadero. Si a la misma variable se le asignase "v" el resultado es "v" o "f", dado que en un condicional cuando el antecedente es verdadero el condicional puede ser verdadero o falso. Ademas el consecuente es una conjunción, que es falsa cuando una de sus variables es falsa, pero puede ser verdadera o falsa cuando una variables es verdadera, como es el caso. El procedimiento del ejemplo responde a reglas. Estas reglas indican el comportamiento de las conectivas y la negación. A los efectos de hacer claras las reglas el signo "=" se leerá "igual a" y el signo " <=> " será el de bicondicional. Al operar se tendrá en cuenta que:

1. La negación invierte el valor asignado, de modo que si p = f, -p = v, y viceversa.
2. La conjunción es "f' cuando una de sus variables es "f “, y v o f  cuando una de ellas es
   v,
3. La disyunción es "v" cuando una de sus variables es "v", y v o f cuando una de ellas es
   f.
4. El condicional es siempre "v" cuando el consecuente es "v" y cuando el antecedente es
   ”f”. Cuando el antecedente es "v" se lo elimina dejando al consecuente, y se elimina el
   consecuente cuando es "f' dejando el antecedente.
5. El bicondicional es verdadero cuando los valores del antecedente y el consecuente son
   iguales. Cuando en el bicondicional aparece "v" en uno de sus componentes se la
   suprime: "v <=> v = v"; "v <=> f" y "f <=>  v" equivalen a “f”.
6. Si en el bicondicional aparece "f' se la elimina cambiando el valor de la otra
   componente: "f<=>f = v"; "f<=> v = f;v<=> f= f.
7. Por idempotencia la conjunción y la disyunción se simplifican cuando aparecen en la
   misma fórmula dos o más veces: p.p.p = p; p v p v p = p.

Como el método tiene por fmalidad determinar si una fórmula cualquiera es o no una tautología se habrá conseguido el objetivo cuando se compruebe que al menos en un caso la fórmula en cuestión es falsa y el procedimiento se detendrá de modo inmediato. Si luego de sustituir la variable más repetida por uno de sus valores se llega al resultado “v”, se le asignará el otro valor “f'” hasta terminar con el procedimiento. Esto es necesario porque puede darse el caso de una fórmula en la que siendo “f” el valor asignado a la variable más repetida de por resultado "v", pero resta por saber si asignando a dicha variable el valor "v", el resultado será el mismo. Si queda parte de la fórmula inicial sin resolver se elige la variable que más se repite en dicha parte - o una de las variables en el caso de que ninguna se repita más que otra- y se continúa con el procedimiento hasta terminar con "v" o "f' o en una variable. Téngase en cuenta que la variable más repetida una vez asignados los valores puede desaparecer de la fórmula inicial, pero ello no implica que parte de dicha fórmula sea a la vez una fórmula que debe ser testeada. Sea la fórmula:

(pv-p)=>((q=>(p.r))

Si se asigna a la variable más repetida “f” se obtiene por sustitución:

(fw)=>((q=>(f.r))

operando se obtiene: "v", para el antecedente del condicional principal por regla 3 y q => f, para el consecuente de dicho condicional, ya que en (f . r) se aplica la regla 2 de la conjunción que dice que siendo falsa cualquiera de las variables el resultado es f. Sabemos, por la regla del condicional que cuando el antecedente es verdadero el condicional puede ser verdadero o falso, y que, siendo falso el consecuente sucede exactamente lo mismo. Ya en este paso del procedimiento se sabe que la fórmula en cuestión no es una tautología dado que al menos en un caso es falsa. Téngase en cuenta que q => f, es v o f (o sea q), ya que sustituida q por f, da f=>f que es "v", y sustituida por v, da v => f que es “f”

Sea la fórmula:

((p . r) v (p=>q)) . (-p v q)

Se sustituye en la misma a “p” por “f”:
((f . r) v (f =>q)) . (v v q)
Y dado que (f . r = f) y (f =>q = v) y (v v q = v)
Se obtiene: (f v v) . v

Si se sustituye a “p” por “v”:
((v . r) v (v => q )9 . (f v q)
Y dado que (v . r =r) y (v => q = q) y (f v q = q)
Se obtiene: (r v q) . q
Y sustituyendo a “q” por “f”  se obtiene:
(r v f) . f que da f
Lo que indica que la fórmula no es una tautología.

LA DEFINICION

Definir es un procedimiento por medio del cual se determina el significado de los términos de un lenguaje. Son de distinto tipo y se las puede clasificar a partir de criterios sintácticos, semánticos o pragmáticos. Las definiciones recursivas,  por equivalencia y axiomáticas, son sintácticas y serán las más utilizadas en este texto.

Definiendum y definiens

Las   definiciones   constan   de   un   término   a   definir,   llamado "definendum", y un término o expresión que define llamado "definiens". La definición es la relación de igualdad entre el definiendum y el definiens. Si definimos un cuadrado como un rectángulo de cuatro lados iguales, el término "cuadrado" es el definiendum y la expresión "rectángulo de cuatro lados iguales" es el definiens. Por regla general el definiendum nunca debe figurar en el definiens. En las definiciones implícitas sin embargo, pueden figurar en el definiendum y en el definiens los mismos términos, aunque los mismos no son los términos a definir. Es lo que sucede, verbigracia, en las definiciones por equivalencia, en las recursivas y en las axiomáticas. Estos tres tipos de definiciones se usan para definir los términos primitivos y fórmulas bien formadas de los sistemas lógicos.

DEFINICIONES RECURSIVAS

Una secuencia no ordenada de variables y conectivas no constituye una fórmula. Para hacer una fórmula de la lógica proposicional es necesario mostrar el modo de construirlas. Se denominan definiciones recursivas a aquellas definiciones que nos indican cuándo estamos ante una fórmula lógica bien formada y no sólo ante una secuencia de símbolos lógicos. En las definiciones recursivas se enuncian un serie de reglas que nos dicen cómo y cuáles son las fórmulas bien formadas. Veamos una definición recursiva en la cual se indican como son las fórmulas de las proposiciones atómicas, de la negación y de las proposiciones moleculares donde la conectiva utilizada es la conjunción.

Regla 1: p, q, r, etc. son fórmulas atómicas bien formadas.
Regla 2: si p es una f. b. f entonces -p es una fórmula bien formada.
Regla 3: si p, q, etc., son f. b. f entonces p v q es una fórmula molecular bien formada
Regla 4: Sólo son fórmulas bien formadas las definidas por estas reglas y las de ellas derivadas.

Del mismo modo se pueden definir las otras conectivas. Mas con solo una conectiva y la negación (si no se usa la negación conjunta o la alternativa)) es suficiente para definir a todos los términos lógicos del sistema. Las definiciones por equivalencia permiten hacerlo. Esto hace supérfluas a todas las conectivas salvo a aquélla de la que no se puede prescindir dado que se la necesita para definir a todas las otras.

DEFINICIONES POR EQUIVALENCIA

Además de las definiciones por recursividad hay definiciones por equivalencia que, como se ha señalado, hacen posible definir todas las conectivas a partir de una de ellas. Dado que hemos definido la disyunción inclusiva podemos partir de ella para definir las otras conectivas a usarse en el sistema estableciendo las equivalencias correspondientes. La abreviatura df. significa "definición" y =df. debe leerse: equivalente por definición.

La conjunción: (p . q) df. -( -p v -q)
El condicional: (p -> q) df. - p v q
El bicondicional:   (p q) df.(( p=>q) . (q=>p)) df -(-(-p v q) v (-q v p))

Las definiciones recursivas y por equivalencia nos permiten integrar todas las conectivas a un sistema lógico. Estos sistemas cuentan con un vocabulario mínimo, axiomas, reglas de formación y de transformación. No está de más reiterar que las primeras nos indican como ordenar las variables y las conectivas y las segundas como se debe sustituir en una fórmula cualquiera una variable por otra variable o por otra fórmula. Por ejemplo, se puede sustituir en la fórmula (pwq).p la variable p por la fórmula molecular p=>q , poniendo p=>q allí donde aparece p. La fórmula resultante seria:

((p=>q) w q) . (p=>q))

DEFINICIONES AXIOMATICAS

Las   definiciones   axiomáticas   son   aquellas   en   cuyo definiens se hacen explícitos los axiomas de la operación o el sistema que se quiere definir. La axiomática de los números naturales de Peano es un sistema definido a partir de tres términos primitivos: "cero", "ser sucesor de" y "número natural". Los axiomas que forman parte del definiens son:

A1) 0 es un número natural
A2) Todo número natural tiene un sucesor
A3) 0 no es el sucesor de ningún número natural
A4) Si los numeros x e y tienen el mismo sucesor entonces x=y
A5) Siendo 0 un elemento del conjunto K y si para cada elemento x de K existe un x' que es su sucesor y que también pertenece a K, entonces K es el conjunto de todos los números naturales.

El sistema P.M de lógica de enunciados esta definido a partir de los primitivos "-", "=>" y
"v" y por los siguientes axiomas:

A1) (pvp)=>p
A2) p => (p v q)
A3) (p v q) => (q v p) A4)(p=>q)=>((rvp)=>(rvq))

LEYES LÓGICAS

Las leyes o principios lógicos son proposiciones verdaderas en virtud de su forma. No son los contenidos de dichas proposiciones los que determina su verdad sino la ordenación de sus variables y conectivas de acuerdo a ciertas formas fijas. Estas proposiciones que son verdaderas siempre se denominan "tautologías". Las proposiciones que hemos visto hasta ahora eran o verdaderas o falsas y como su verdad y falsedad depende en cierta medida de los hechos que describen se las llama "contingencias". Asi p.q o -pvq son contingencias. En cambio una formula como p óp es una tautología, puesto que es verdadera en todos los casos y su verdad depende de su forma y no de los hechos. Si hacemos su tabla de verdad tendremos;

p p
v	v	v
f	v	v

p=p es una equivalencia y se lee p equivale p o también p es idéntica a p. Es una ley lógica y una de las expresiones del principio de identidad. Además de este principio hay otros. Los más conocidos son el de no contradicción y el del tercero excluido, que los hemos visto en otros capítulos. Enumeraremos a continuación algunas leyes lógicas de uso frecuente.

Las leyes lógicas negadas son proposiciones contradictorias.    Son    lo opuesto a la tautología, por ende la negación de cualquier tautología da por resultado una contradicción. Si niego, verbigracia, el principio de identidad incurro en una contradicción:

-( p p)
f	v	v	v
f	f	v	f

Tanto las tautologías como las contradicciones son verdaderas o falsas respectivamente en cualquier caso de sustitución. Esto quiere decir que, independientemente de las variables que se usen, las fórmulas tautológicas o contradictorias siempre serán verdaderas las primeras y falsas las segundas. Por eso si en vez de usar p y q para expresar el Modus ponendo ponens usamos pwq por p, y r por q tendremos:

((pwq)=> r) . (pwq)) => r

que es una tautología. Esto es extensible a cualquier caso y vale, aunque en sentido inverso, para las contradicciones.

INTERPRETACION

Las fórmulas lógicas pueden ser interpretadas, es decir, sustituir sus variables y conectivas por enunciados y términos de nuestra lengua. La fórmula p => -q puede interpretarse del siguiente modo:

p: Héctor está de vacaciones -q : Héctor no estudia
por lo cual p=>-q queda: Si Héctor está de vacaciones entonces no estudia
La fórmula p . q . -r se puede interpretar:
Carlos estudia y Marta trabaja y Héctor no está ocupado

En esta interpretación p, q y -r simbolizan tres enunciados en los que tanto los sujetos como los predicados son distintos. Pero podría simbolizar una oración compleja como:

Carlos estudia, trabaja y no está ocupado

Esto se debe a que la oración compleja está integrada por tres oraciones en las que siendo diferente cada predicado el sujeto es el mismo. "Carlos estudia" es p, "Carlos trabaja" es q, y "Carlos no está ocupado" es -r.
Consideremos ahora el siguiente ejemplo:

Carlos y Marta estudian

En este caso se trata de una oración compleja con diferentes sujetos y el mismo predicado que encierra dos proposiciones:

Carlos estudia y Marta estudia

ABSTRACCION

De los enunciados expresados en nuestra lengua, u otras, pueden abstraerse sus formas lógicas. Estas se expresan por medio de las fórmulas de la lógica proposicional. Como procedimiento es inverso al de interpretación y consiste en sustituir cada enunciado del lenguaje empírico por una fórmula atómica o compleja del lenguaje formal. Por ejemplo, el enunciado "la pared es blanca y la puerta está cerrada" se puede expresar en el lenguaje abstracto de la lógica por la fórmula:

p . q

El enunciado " O bien vamos al cine o bien estudiados " tiene la fórmula: pwq.

La complejidad del lenguaje coloquial, así como la del científico, varía  gradualmente. La proposición:

Si Argentina hace valer sus derechos en el caso de las papeleras y Uruguay reconoce el peligro de contaminación que su actividad im-plica, entonces ambos países Ilegarán a un acuerdo. Pero si Uruguay no reconoce el peligro de la contaminación no habrá acuerdo.

Tiene la fórmula: ((p . q) => r) .-q) => -r, o también: ((p . q)=> r) . (-q => -r)

VALIDADACIÓN DE ARGUMENTOS POR ANALOGÍA LÓGICA

Los argumentos pueden ser validados de diferentes maneras. En la lógica proposicional o de enunciados existen procedimientos que permiten distinguir a los argumentos válidos de los que no lo son. Uno de esos procedimientos es el de la analogía lógica. Consiste en comparar cualquier argumento con una forma metalógica que se deriva de una tautología. Estas formas paradigmáticas son reglas lógicas, que no son otra cosa que las leyes lógicas usadas como esquemas con los que se comparan los argumentos. Si estos coinciden en su forma con las de la regla se dice que el argumento es válido, de no ser asi estara probada su invalidez.

A partir de las leyes lógicas que conocemos podemos derivar algunas reglas. Estas se expresan por medio de variables metalógicas que pueden ser sustituidas por fórmulas lógicas de cualquier grado de complejidad. Las variables metalógicas se representan por letras mayúsculas del alfabeto a partir de A.

Un ejemplo de regla lógica es la que se deriva de la ley llamada modus ponendo pones. La fórmula de esta ley es la siguiente:

((p =>q) => q

en esta fórmula afirmando el antecedente p se concluye válidamente el consecuente q. La regla correspondiente es:

A   =>  B
A_____
B

Como se ve, en la regla alguna de las conectivas desaparece y en su lugar se ponen en columnas las formas metalógicas derivadas de las lógicas, sustituyendo la conjunción por el ordenamiento en columnas, poniendo a una forma debajo de la otra, y al condicional por una línea que separa las premisas de la conclusión. En este caso nos encontramos con una regla que es el esquema de un razonamiento que tiene la forma del modus ponendo ponens. A => B y A son las premisas y B es la conclusión. Si queremos saber si un razonamiento es o no válido se tiene que comparar su forma con la de la regla. Veamos un ejemplo:

Premisa 1: Si estudio entonces aprobaré el examen
Premisa 2: Estudio
Conclusión: Por lo tanto aprobaré el examen

Si se abstrae la forma lógica de este argumento obtenemos:
A => B
A____
B

Esta forma, derivada de la ley ((p => q). p) => q, es el modus ponendo ponens en el que p simboliza "estudio" y q "aprendo" y que se corresponde con la regla del mismo nombre. El argumento del ejemplo es válido. Si en vez del argumento anterior hubiésemos aplicado el método para validar este:

Premisa 1: Si hay fuego entonces hay oxígeno
Premisa 2: Hay oxígeno
Conclusión: Por lo tanto hay fuego

Comprobaríamos que el razonamiento no es válido porque su fórmula lógica es:

((p=>q).q)=>p

que no es una ley lógica y que, en consecuencia, no se corresponde con la regla del modus ponendo ponens en la que en la segunda premisa se afirma el antecedente para asi obtener válidamente el consecuente.

Vamos a considerar otra regla, en este caso derivada del modus tollendo tolens, en la que negando el consecuente se niega válidamente el antecedente. El modus tollens tiene la siguiente forma:

((p=>q) . -q) => -p

la regla lógica correspondiente es:

A       =>      B
-B_________
-A

El razonamiento que se validará es el siguiente:

Premisa 1: Si ahorramos entonces tendremos fondos disponibles
Premisa 2: No tenemos fondos disponibles
Conclusión: Entonces no ahorramos

El razonamiento es válido porque se corresponde perfectamente con la regla.

Pues"ahorramos" se simboliza por A y "fondos disponibles" por B.

Este método de validación es aplicable a todos aquellos argumentos cuyas fórmulas lógicas pueden ser abstraídas. Si dichas formas son leyes de las que se derivan reglas válidas de argumentación y los argumentos tienen la misma forma entonces sera válidos en cualquier caso.

Se puede comprobar la validez de argumentos no interpretados de distinto grado de complejidad. Por ejemplo el siguiente:

((-pwq) => -(-r . t)) . (-r.t)) => -(-pwq)

en el que (-pwq) es A y -(-r . t) es B y que tendría la siguiente estructura metalógica:

A  => -B
B____
-A

que es válida ya que se trata del modus tollendo tollens en el que la negación del consecuente nos permite obtener válidamente la negación del antecedente. No olvidemos que doble negación equivale a una afirmación y que negar -B es afirmar B, como sucede en la segunda premisa del ejemplo.

ÁRBOLES LÓGICOS

El método de los árboles lógicos es un método introducido en la lógica a partir de las investigaciones de Gentzen. Se usa de distintos modos y su propósito es probar la consistencia o validez de los argumentos. Si se sigue el procedimiento de Smullyan y Jeffrey se usa un solo árbol y en cada punto del mismo hay una sóla fórmula. Las reglas básicas consisten en descomponer las fórmulas que se quiere analizar en fórmulas más simples y clausurar o cerrar las ramas del árbol así formado en aquellos casos en que haya contradicciones. El símbolo usado para indicar que una rama esta cerrada es una "x". En general bastaría con que una de las ramas no pueda ser cerrada para que el argumento cuya consistencia se pretende probar quede validado. Si se sigue a Jefrey se puede usar algo similar a lo que sería una demostración por el absurdo. Se trata de probar la consistencia de argumentos que en caso de ser válidos, al negarse su conclusión se incurriría en una contradicción, dado que de premisas verdaderas no se puede obtener conclusión falsa. Para aplicar el método en cualesquiera de sus dos modalidades se utilizan una serie de reglas que expresan el funcionamiento de la doble negación, el condicional, la conjunción y la disyunción inclusiva y el bicondicional. Reglas:

R1) Doble Negación:

Esta regla indica que se puede derivar válidamente de la doble negación de una fórmula cualesquiera su afirmación.

R2) Implicación:

Estas reglas expresan el funcionamiento del condicional. La de la izquierda nos dice que el condicional puede ser verdadero cuando su antecedente es falso o su consecuente es verdadero. La de la derecha nos indica que el condicional es falso cuando su antecedente es verdadero y su consecuente es falso. Estas reglas autorizan derivar válidamente de un condicional cualesquiera la disyunción entre su antecedente negado y su consecuente, y de su negación, la conjunción de su antecedente con su consecuente negado.

R3) Conjunción:

En estas reglas se convalida la derivación de la conjunción a partir de la conjunción y, por la ley de De Morgan, la negación alternativa de la disyunción a partir de la conjunción negada.

R4) Disyunción:

En estas reglas se convalida la derivación de la disyunción a partir de si misma y se vuelve a aplicar la ley de De Morgan para validar la derivación de la doble negación de la conjunción de la disyunción negada.

R5) Doble implicación:

A		B
A B		-A -B

Las fórmulas derivadas como disyunción forman una horqueta, como si fuesen las ramas de un árbol, y las fórmulas derivadas como conjunción constituyen una hilera. Cuando no se niega su conclusión si un argumento es válido alguna de las ramas queda abierta, es decir que no se detecta una contradicción remontándola por el tronco hasta su inicio. Sea el argumento:

Si los alumnos estudian, aprenden
Los alumnos estudian
Por lo tanto aprenden

La fórmula que lo representa es la que se corresponde con el modus ponendo ponens:

con la misma se puede formar el árbol:

Como se ve, todas las ramas cierran cuando se comprueba, al remontarlas, que en algún punto de las mismas hay una fórmula que contradice a una anterior. En la rama en horqueta de ia izquierda -p y p se contradicen y q y -q también. En la rama derecha r es negada por -r. Esto prueba que el argumento en cuestión es válido, ya que de la suposición de que no lo era se dio una inconsistencia.

FALACIAS NO FORMALES

Las falacias son argumentos no válidos. Son de dos tipos: formales y no formales. Las falacias no formales son múltiples, y, a mero título de ejemplo, nombraremos un par de ellas.

La falacia de composición, que consiste atribuirle al todo alguna propiedad de las partes. Las generalizaciones infundadas son ejemplos típicos, como cuando se asevera cada uno de los miembros de un equipo es competente y, por ende, el equipo tambien lo es.

La falacia de división, que consiste en atribuirle a las partes de un todo la misma propiedad que caracteriza al todo. Usando el ejemplo del equipo, pero a la inversa, se asevera que el equipo es fuerte y que por lo tanto cada uno de sus integrantes también lo es.

Una falacia más sutil se da cuando le atribuimos al todo la propiedad que caracteriza a cada una de sus partes pero que define, a su vez, a ese todo como conjunto. Por ejemplo, cuando se dice que el conjunto de los médicos cura. El conjunto de los médicos no tiene la propiedad que lo define como tal. El conjunto de objetos cuya propiedad es ser médico no cura. Curan los individuos cuya profesión es la medicina. El conjunto de objetos cuya propiedad es ser lapicera no es una lapicera y por lo tanto no sirve para escribir.

FALACIAS FORMALES

Las falacias formales son argumentos mal hechos que se derivan de errores en la construcción de esquemas de argumentación semejantes a las reglas derivadas de leyes lógicas. Dos de esos esquemas no válidos son de uso comun en el discurso no científico. Se trata de la falacia de la afirmación del consecuente en el modus ponendo ponens y de la falacia de negación del antecedente en el modus tollendo tollens. En el primer caso se toma como válido el siguiente esquema:

Derivado de la fórmula: ((p => q). q) => q que no es una ley lógica sino un contingencia. En el segundo caso se toma como válido el esquema:

derivado de la fórmula: ((p => q). -p) => -q que no es una ley sino una contingencia.

También es una falacia el modus ponendo tollens aplicado a la disyunción inclusiva, pues:

se corresponde con la fórmula: ((p v q). p) => -q que es una contingencia.

EQUIVALENCIAS

Todas las conectivas, por definición, son equivalentes entre sí. Esto permite sustituir a una conectiva por otra en un sistema axiomático formalizado de acuerdo a ciertas reglas previamente establecidas. También es posible reducir cualquier fórmula a una fórmula elemental en la que las conectivas sean únicamente la conjunción, la disyunción y la negación. Esto permite simplificar mucho la estructura de un lenguaje formalizado porque con ello se puede reducir la cantidad de conectivas utilizadas. La siguiente lista de equivalencias, algunas de las cuales ya se han visto en las leyes lógicas, es de utilidad cuando se busca la simplificación de fórmulas complejas:

Según la definición de W. Quine dos esquemas lógicos simbolizados por S y S' son equivalentes si y sólo si no existe ninguna interpretación que asigne a S y S' distintos valores de verdad o, dicho de otro modo, si no hay un bicondicional que tenga por miembros a S y S' y pueda ser falsado.

Usando el método de la asignación de valores se puede determinar si dos fórmulas son equivalentes entre sí. Veamos un ejemplo dado por W. Quien:

El mismo procedimiento se puede aplicar a otros casos.

FORMAS NORMALES

Todas las conectivas pueden reducirse a una de ellas. La conjunción puede representarse por la disyunción y esta por la primera según las leyes de De Morgan, y así con todas las demás. No obstante, todas las conectivas son de utilidad. Sobre todo el condicional y el bicondicional. El primero por la noción de implicación y el segundo por la de doble implicación. Pero muchas veces es necesario sustituir dichas conectivas por sus equivalentes usando la conjunción o la disyunción. El disponer de estas dos últimas es sumamente importante cuando se trata de reducir fórmulas con varias conectivas y con la negación afectando a conjuntos de variables en vez de afectar a cada una de ellas por separado, a fórmulas con dos conectivas y con la negación afectando a cada variable de la misma. La ley de distributividad de la de conjunción en la disyunción permite transformar:

1°) 'p . (q vrvs)'en '(p . q) v (p . r )v (p v s)'
y a la fórmula:
2°) 'p v ( q . r . s)'   en   '(p v q). (p v r). (p v s) '

por la ley de distributividad de la disyunción en la conjunción. Una definición por equivalencia y la ley de la doble negación nos autoriza a considerar:

(p.q) -(-pv-q)

Se  denominan  "formas  normales"   a  las  fórmulas  del  cálculo  obtenidas  por  estos procedimientos. Hay dos formas normales: la conjuntiva y la disyuntiva.

Una forma normal conjuntiva es una conjunción no negada de disyunciones no negadas de fórmulas atómicas negadas o no negadas. Una forma normal disyuntiva es una disyunción no negada de conjunciones no negadas de fórmulas atómicas negadas o no negadas. Dado que la negación en toda forma normal debe afectar únicamente a una variable, es decir que no puede haber negaciones que afecten a proposiciones moleculares, debe seguirse un procedimiento adecuado para ubicar a la negación en el lugar correcto de cada fórmula en la que aparezca. Este procedimiento se hace de acuerdo a ciertos teoremas y a convenciones que permiten sustituir unas fórmulas por otras.

La ley de la doble negación permite sustituir: "--p" por "p"; "---p" por "-p"; etc.

Las leyes de De Morgan autorizan a sustituir: "-(p . q)" por "-p v -q), y -(p v q) por -p . -q, de modo que la negación afecta directamente a cada variable atómica.

La propiedad conmutativa , más la asociativa y la distributiva de la conjunción y la disyunción, que son leyes lógicas, sirven para transformar cualquier fórmula normada con ".", "v" y   "-" como operadores y sin fórmulas negadas, salvo las atómicas y sin doble negación, en una forma normal conjuntiva o disyuntiva de la lógica de enunciados.

La forma normal conjuntiva de la siguiente fórmula (p v q) => r se obtiene:

1) -(p v q) v r por la ley de equivalencia del condicional: p=>q =df. –p v q
2) (-p . -q) v r por la ley de De Morgan.
3) (-p v r) . (-q v r) por propiedad distributiva.

La fórmula "(-p v s) . (-q v s)" es la fórmula normal conjuntiva de "(p v q) => s", que se puede transformar en la forma normal disyuntiva de la misma fórmula partiendo de (3)

Las formas normales que permiten expresar cualquier fórmula usando la conjunción, la disyunción y la negación son importantes por su aplicación a los circuitos eléctricos. W. Quine(1950) señala que C. Shannon en 1938 observó una estrecha correspondencia entre los esquemas lógicos y los circuitos. Se comprobó que un circuito cuyo gráfico eran dos terminales con dos interruptores entre ambos podía corresponder a una conjunción o a una disyunción según se tratara de un circuito en serie o en paralelo. En los primeros, dado que los interruptores están conectados en serie, la corriente pasa sólo cuando los dosinterruptores están cerrados, mientras que los segundos, dado que los interruptores están conectados en paralelo, la corriente pasa cuando uno u otro esta cerrado. Estas son las funciones de la conjunción y la disyunción, mientras que la negación representa la desconexión de un interruptor. El gráfico de la conjuncion p . q es:

Shannon usó las llamadas álgebras de Boole y dijo al respecto que " El álgebra de la lógica de Boole es un método simbólico para investigar relaciones lógicas. Los símbolos del álgebra de Boole admiten dos interpretaciones lógicas. Si los intérpretes en término de la lógica de clases las variables no se limitan a los valores 0 y 1. Esta interpretación es conocida como álgebra de clases. Pero si se acuerda que los términos son proposiciones, tenemos el cálculo proposicional en las que las variables se limitan a los valores 0 y 1". A partir de esto Shannon estableció una serie de analogías entre el cálculo proposicional y el cálculo de circuitos, que es lo que posibilita, a partir de formas normales, obtener el gráfico de circuitos correspondiente. La siguiente es una tabla de analogías (Garrido-405):

CLASES

Las clases (conjuntos, en matemática) son colecciones de objetos con alguna propiedad en común. Por "propiedad" se entiende una atribución de cierto tipo que corresponde o no a elementos individuales. Una propiedad que se atribuye a individuos puede determinar otra propiedad, ya sea por negación de la misma o por combinación con otra propiedad. Asi la propiedad "ser alto" negada se convierte en "no ser alto". La propiedad "ser sano" combinada con la propiedad "ser persona" se convierte en la propiedad "ser persona sana". Tanto las propiedades como su negación (que también son propiedades) y las propiedades complejas determinan clases de objetos. Estas clases están constituidas por individuos que son sus elementos. Las clases no tienen la propiedad que caracteriza a los elementos que la componen. La clase de las lapiceras no escribe. La clase es una entidad abstracta.

Hay operaciones entre clases y relaciones entre ellas. Las operaciones son el
producto o intersección, la suma o unión y la negación o complemento. Las relaciones son la inclusión y la equivalencia. Tanto las operaciones como las relaciones son isomorfas con la conjunción, la disyunción, la negación, el condicional y el bicondicional de la lógica de enunciados.

CLASES: UNIVERSAL, VACIA, NO VACIA, UNITARIA

La clase universal, que se puede simbolizar V: definida como la clase de todos los objetos cuya propiedad es ser idénticos a sí mismos.

La clase no vacía, representada por 1: definida como la clase que tiene al menos un elemento.

La clase unitaria: definida como la clase que tiene sólo un elemento. La clase vacía, representada por 0: definida como la clase de todos los objetos cuya propiedad es no ser idénticos a sí mismos.

En general las clases son vacías (0) o no vacías (1). Tanto la clase universal (V) como la clase unitaria son no vacías (1).

Como con la clase universal considerada en términos absolutos no se puede operar se ha convenido en considerar "clase universal"(V) a clases limitadas en cuanto a la propiedad, aunque no siempre en cuanto a los elementos, a las que se las ha denominado "universo de discurso", "campo" o "referencial". Un universo de discurso es un conjunto genérico que abarca a otros conjuntos, que son subconjuntos del universo en cuestión. Así, el universo de discurso de los vertebrados es el de los animales. Los universos de discurso pueden ser más o menos extensos. La clase de los objetos cuya propiedad es "ser saludable", es una subclase del campo de los animales o de los seres vivos. Su complemento: "no ser saludable" no esta constituido por todo a lo que se puede considerar que no tiene salud, sino por todos los individuos carentes de salud que pertenecen a alguna subclases del campo de los seres vivos.

OPERACIONES ENTRE CLASES

El producto o intersección entre clases equivale a la conjunción entre proposiciones. Los valores 1 y 0 son equivalentes a los valores v y f de la lógica de enunciados. Dadas las clases A y B la intersección tiene la siguiente tabla de valores:

RELACIONES ENTRE CLASES

Las relaciones entre clases son la inclusión y la equivalencia. Son equiparables al condicional y el bicondicional de la lógica de proposiciones. La tabla de valores de la inclusión es la siguiente:
          

LA INCLUSIÓN ENTRE CLASES

La relación de inclusion es de clase a clase. Una clase incluida en otra se denomina"subclase" y se la define como una clase que no tiene los mismos elementos que la clase que la incluye. Toda clase se incluye a sí misma, en cuyo caso se la considera como subclase impropia, dado que tiene los mismos elementos que la clase en la que esta incluida.

La clase universal incluye a todas las clases y se incluye a sí misma.
La clase vacía puede estar incluida en cualquier clase y también en si misma.
La relación de pertenencia es de elemento a clase, no de clase a clase.

La lógica de clases esta relacionada con la lógica de predicados. Los términos de propiedad son los   predicados de enunciados atómicos. Un enunciado como "Los vertebrados son animales" expresa una relación de inclusión entre el sujeto "vertebrados" que se predica de ciertos individuos x (la clase A) y el predicado "animales" que se predica también de individuos  x (la clase B) que se puede representar: A C B. Un razonamiento como el siguiente:

Todos los matemáticos son lógicos
Todos los calculistas son matemáticos
Luego: todos los calculistas son lógicos

En la lógica de enunciados se tendría que expresar: (p . q) -> r. El razonamiento del ejemplo es un razonamiento válido, por lo tanto si se tuviesen que hacer las tablas de verdad de la fórmula que debiera representarlo daria una tautología. Pero la fórmula de la lógica de enunciados es una contingencia. En la lógica de predicados cada término es interpretado como una proposición atómica en la que se predica una propiedad a individuos: Ax, son los x matemáticos, Bx son los x lógicos, Dx son los x calculistas. Cada una de las proposiciones está ligada a otras de modo que el razonamiento completo debiera expresarse: ((A C B) . (D C A)) => (D C B) que daría una tautología.

Contando con los elementos que nos brinda la lógica de clases toda las silogística aristotélica puede ser justificada. Consideremos esto nuevamente: con los cuatro tipos de enunciados clasificados según la cantidad y la cualidad se pueden construir razonamientos silogísticos válidos, Estos razonamientos, como ya se sabe, constan de dos enunciados que sirven de antecedente a un tercero que es la conclusión. Dado que los tipos de enunciados son cuatro: A, E, I, O las posibles combinaciones de los mismo de tres en tres son 256. Pero sólo 19 de ellas son combinaciones válidas, es decir, combinaciones en las que de las premisas se derivan válidamente la conclusión. Aristotéles, y otros lógicos posteriores, agruparon dichas formas válidas de acuerdo a cuatro figuras o formas genéricas de razonamiento determinadas por la posición de uno de los términos que componen los enunciados que hacen de premisa en los mismos. En el siguiente razonamiento:

Todos los árboles son vegetales
Todos los sauces son árboles
Luego: todos los sauces son vegetales

El término en cuestión es "árboles" y se lo denomina "término medio" porque se considera que por su extensión está entre medio de un término mayor que lo contiene en su extensión dado que alcanza a más individuos que él (en este caso "vegetales") y un término menor que esta contenido en el ya que es de menor extensión al aplicarse a menos individuos (en este caso "sauces"). La posición del término medio varía en los distintos tipos de razonamientos posibles válidos. En el ejemplo dado en la primera premisa es sujeto y en la segunda predicado. En el siguiente razonamiento:

Todos los profesores son matemáticos
Algunos profesores son lógicos
Luego: algunos lógicos son matemáticos

El término medio es "profesores" y es sujeto en ambas premisas. Existen dos posibilidades más que permiten hacer razonamientos válidos con el término medio como predicado en ambas premisas y como predicado en la primera y sujeto en la segunda. Estas cuatro posiciones del término medio posibilitó agrupar los 19 modos válidos del silogismo en cuatro figuras. Si se representa al término medio por "M", al término mayor por "T" y al término menor por "t", las cuatro figuras del silogismo son:

Todos los modos pueden ser justificados en la lógica de las clases de acuerdo a los siguientes criterios. Todos los enunciados equivalen a la negación de sus respectivos contradictorios, por lo tanto:

A =-0
E  =-I
I  = -E
0= -A

Todos los enunciados expresan a nivel lingüístico relaciones entre clases. Por lo tanto los términos de los mismos son nombres de clases. En general se puede considerar a t, M y T como nombres genéricos de dichas clases y en tal caso formar con dichos nombres genéricos todos los modos válidos de la siguiente manera, teniendo siempre en cuenta la posibilidad de utilizar los enunciados equivalentes en vez de aquellos a los que equivalen. En la la F: I= - E y 0= -A, de modo que I= -(t C -M) o -(t C -T), y 0= -(t C T).

El mismo procedimiento se puede aplicar al resto de los modos de las otras figuras. Aplicando el cálculo de clases asociado a los enunciados se obtendría en todos los casos una tautología.